どうぞひとつ

どうぞひとつ
なんとかひとつ

「ひとつ」に意味はありません

○感動詞、間投詞
場繋ぎの言葉
空白を塞ぐ言葉
○歌の合いの手
あ、それ
どうした、どした

これらと同類の用法です
口癖でもあります

森田千葉県知事が飲食店を回って、慰撫・お願いをしているニュースを見ました
どうぞひとつ
なんとかひとつ
なんぼ知事でも、言いようがないよなぁ、察してちょうだいよと言外に語っているわけだ